TRIGONOMETRIA
La trigonometría es una rama de la
matemática, cuyo significado etimológico es 'la medición de los triángulos'.
Deriva de los términos griegos τριγωνοϛ trigōnos 'triángulo' y μετρον metron
'medida'.1
En términos generales, la trigonometría es el
estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente;
secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de
la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas
de precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es
el caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones, entre las que
se encuentran: las técnicas de triangulación, por ejemplo, son usadas en
astronomía para medir distancias a estrellas próximas, en la medición de
distancias entre puntos geográficos, y en sistemas globales de navegación por
satélites.
Los antiguos egipcios y los babilonios
conocían ya los teoremas sobre las proporciones de los lados de los triángulos
semejantes. Pero las sociedades prehelénicas carecían de la noción de una
medida del ángulo y por lo tanto, los lados de los triángulos se estudiaron en
su medida, un campo que se podría llamar trilaterometría.
Los astrónomos babilonios llevaron registros
detallados sobre la salida y puesta de las estrellas, el movimiento de los
planetas y los eclipses solares y lunares, todo lo cual requiere la
familiaridad con la distancia angular medida sobre la esfera celeste. Sobre la
base de la interpretación de una tablilla cuneiforme Plimpton
322 (c. 1900 a. C.), algunos incluso han afirmado que los
antiguos babilonios tenían una tabla de secantes. Hoy, sin embargo, hay un gran
debate acerca de si se trata de una tabla de ternas pitagóricas, una tabla de
soluciones de ecuaciones de segundo grado, o una tabla trigonométrica.
Papiro de
Ahmes
Los
egipcios, en el segundo milenio antes de Cristo, utilizaban una forma primitiva
de la trigonometría, para la construcción de las pirámides. El Papiro de Ahmes,
escrito por el escriba egipcio Ahmes (c. 1680-1620 a. C.),
contiene el siguiente problema relacionado con la trigonometría:
Si una
pirámide es de 250 codos de alto y el lado de su base es de 360 codos de largo,
¿cuál es su Seked?
La solución
al problema es la relación entre la mitad del lado de la base de la pirámide y
su altura. En otras palabras, la medida que se encuentra para la seked es
la cotangente del
ángulo que forman la base de la pirámide y su respectiva cara
Unidades angulares
En la
medición de ángulos y, por
tanto, en trigonometría, se emplean tres unidades, si bien la más utilizada en
la vida cotidiana es el grado sexagesimal, en
matemáticas es el radián la más
utilizada, y se define como la unidad natural para medir ángulos, el grado
centesimal se desarrolló como la unidad más próxima al sistema decimal, se usa en topografía, arquitectura o en construcción.
- Radián: unidad angular
natural en trigonometría. En una circunferencia completa hay 2π radianes
(algo más de 6,28).
- Grado sexagesimal: unidad
angular que divide una circunferencia en 360 grados.
- Grado centesimal:
unidad angular que divide la circunferencia en 400 grados centesimales.
- Mil angular:
unidad angular que divide la circunferencia en 6400 unidades.
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Representación
gráfica
Representación
de las funciones trigonométricas reciprocas en el plano
cartesiano (x,y), como la recíproca del seno, el
coseno y la tangente, los valores en el eje y expresados en radianes.
Si aplicamos
el criterio para obtener las funciones recíprocas en el sentido estricto,
definiendo el arcoseno como la recíproca del seno, el arcocoseno como la
recíproca del coseno y el arco tangente como la recíproca de la tangente, lo
obtenido es la gráfica de la derecha. Es fácil percatarse que estas
representaciones no cumplen la unicidad de la imagen, que forma parte de la
definición de función, eso es para un valor de x dado existen un número
infinito de valores que son su función, por ejemplo: el arcoseno de 0 es 0,
pero también lo son cualquier múltiplo entero de .
Para
cualquier n número entero.
Dado que la
recíproca de una función no tiene que cumplir necesariamente la unicidad de
imagen, solo las funciones inyectivas y biyectivas dan funciones recíprocas con
esta propiedad, esta situación se repite para el resto de las funciones
recíprocas trigonométricas.
Primer
cuadrante
Para ver la evolución de las funciones trigonométricas
según aumenta el ángulo, daremos una vuelta completa a la circunferencia,
viéndolo por cuadrantes.Como consecuencia de esta consideración, los segmentos
correspondientes a cada función trigonométrica variarán de longitud, siendo
esta variación función del ángulo, partiendo en el primer cuadrante de un
ángulo cero.
Partiendo de
esta representación geométrica de las funciones trigonométricas, podemos ver
las variaciones de las funciones a medida que aumenta el ángulo.
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